题目内容

已知：△ABC中，∠B=90°，BE平分∠ABC，AB=6cm，AC=10cm．
（1）在BE的延长线上求作一点D，使DA=DC；
（2）四边形ABCD是否有外接圆，并说明理由．若有求外接圆的面积；若没有说明理由．

解：（1）作边AC的垂直平分线与BE延长线的交点即为D，如图；

（2）过A作AM⊥BE于M，过C作CN⊥BE于N．则三角形BCN和三角形ABM都是等腰直角三角形，且BC=8cm．
根据等腰直角三角形的性质，得CN=BN=4 $\text{[math]}$ cm，AM=BM=3 $\text{[math]}$ cm，则MN= $\text{[math]}$ cm．
根据DH是AC的垂直平分线，则AD=CD，设ND长为xcm，根据勾股定理，列方程，得
（x+ $\text{[math]}$ ）²+18=x²+32，
解得x=3 $\text{[math]}$ ，
根据勾股定理，得CD=5 $\text{[math]}$ ，在直角三角形CDH中，根据勾股定理，得DH=5cm，
又根据直角三角形的性质，知H到A、B、C三个顶点距离相等，且该距离是5cm．
因此四边形ABCD是否有外接圆，且外接圆的面积是25πcm²．
分析：（1）作边AC的垂直平分线与BE延长线的交点即为D；
（2）要判断四边形ABCD是否有外接圆，只需看能否找到一点到四边形ABCD四个顶点的距离相等，根据直角三角形的性质，知到A、B、C三个顶点距离相等的点是AC的中点，设为H．过A作AM垂直于BE于M，过C作CN垂直于BE于N．设ND长为x，根据CD=AD结合勾股定理列方程（x+ $\text{[math]}$ ）²+18=x²+32，解方程得x=3 $\text{[math]}$ ，可以求出CD=5 $\text{[math]}$ ，故DH可求得为5．因此有外接圆，进一步求得外接圆的面积
点评：此题综合考查了线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、证明几点共圆的方法，即这几个点到某一定点的距离相等．