Question

如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A．过点作直线轴于点M，交抛物线于点B，过点B作直线BC∥轴与抛物线交于点C（B、C不重合），连结CP．

（1）当时，求点A的坐标及BC的长；
（2）当时，连结CA，问为何值时？
（3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并求出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A(-4，0) ，BC="2" （2）m=2时 （3）存在

试题分析：解：（1）当m=2时，，
令y=0，得，∴
∴A(-4，0)   
当x=-1时，y=3，∴B（-1，3）
∵抛物线的对称轴为直线x=-2，
又∵B，C关于对称轴对称，∴BC=2．  

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图），
由已知得∠ACP=∠BCH=90°，
∴∠ACH=∠PCB            
又∵∠AHC=∠PBC=90°，
∴△ACH∽△PCB，
∴．
∵抛物线的对称轴为直线x=-m，其中m>1，
又∵B,C关于对称轴对称，       
∴，
∵        
∴
又∵       
∴,
∴           
∴∴．
（3）∵B，C不重合，∴m≠1．（I）当m＞1时，BC=2(m-1),PM=m,   BP=m-1.
(i)若点E在x轴上（如图1），
∵∠CPE=90°，∴∠MPE＋∠BPC=∠MPE＋∠MEP=90°，
∴∠BPC=∠MEP．  又∵∠CPB=∠PME=90°，PC=EP
∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM,     
∴2（m－1）=m，
∴m=2,此时点E的坐标是（-2，0）．
（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，   BP=1－m,
(i)若点E在x轴上， 易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，
∴2（1－m）=m,∴，此时点E的坐标是．
（ii）若点E在y轴上，
过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1,
∴1－m=1，∴m=0（舍去）．
综上所述，当m=2时，点E的坐标是（-2，0）或（0，4）；当时，点E的坐标是 ．
点评：难度系数较大，考生应熟练掌握抛物线的基本性质，包括对称轴的公式，抛物线的顶点等，相似三角形的判定，全等三角形的判定等等，综合知识，数形结合。