Question

【题目】如图，将矩形ABCD沿线段AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．

（1）求证：△AGE≌△AGD
（2）探究线段EG、GF、AF之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AG=6，EG=2 ，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△AEF是由△ADF折叠得到的，

∴AD=AE，∠DAG=∠EAG，

又∵AG=AG

∴△AGE≌△AGD；

（2）

解：AF×GF=2EG2，

证明如下：

连接DE交GF于点O

∵△AEF是由△ADF折叠得到的

∠DAG=∠EAG，DF=EF

∵△AGE≌△AGD

∴GD=GE，∠AGD=∠AGE

∴∠FGD=∠FGE

∵EG∥CD

∴∠DFG=∠FGE

∴∠FGD=∠DFG

∴GD=DF

∴GD=EG=EF=DF

∴四边形DGEF是菱形

AF⊥DE，OF= GF

∴∠ADF=∠DOF=90°

又∵∠DFO=∠DFA

∴△DFO∽△AFD

∴

∴OF×AF=DF2

∵OF= GF，DF=EG

∴ GF×AF=EG2

即：AF×GF=2EG2

（3）

解：过点G作GH⊥CD于H

则四边形CHGE是矩形，

∴CE=GH

设GF=x，则AF=6+x

∵AF×GF=2EG2EG=2

∴x（6+x）=40

解得：x=4

∴GF=4，

∴AF=6+4=10

在Rt△AEF中

AE=

∴BC=AD=AE=4

∵GH∥AD

∴△FGH∽△FAD

∴

∴

∴CE=GH=

∴BE=BC﹣CE=4 ﹣ = ．

【解析】（1）先依据翻折的性质可得AD=AE，∠DAG=∠EAG，易得△AGE≌△AGD；（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF= GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FOAF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系；（3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD﹣GH求解即可．