题目内容
【题目】如图，抛物线
与直线
交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，已知A（0，3），C（3，0）．（1）抛物线的解析式__；（2）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒
个单位的速度运动到A后停止．若使点M在整个运动中用时最少，则点E的坐标__．
【答案】y＝
x2﹣
x+3； （2，1）．
【解析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据锐角三角函数，可得AE与NE的关系，根据路程与速度，可得点M在整个运动中所用的时间为DE＋EN，根据两点之间线段最短，可得当D′、E、N三点共线时，DE＋EN最小，根据矩形的判定与性质，可得ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC，根据抛物线与x轴的交点可得OD的长，再求ON的长，可得答案．
解：（1）把A（0，3），C（3，0）代入
，
得
，解得
．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x+3，
故答案为y＝x2﹣x+3；
（2）∵A（0，3），C（3，0），
∴OA＝OC＝3，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC＝45°，
过点E作EN⊥y轴于N，如图，
在Rt△ANE中，EN＝AEsin45°＝
AE，即AE＝
EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为
＝DE+EN，
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E＝DE，D′C＝DC，∠D′CA＝∠DCA＝45°，
∴∠D′CD＝90°，DE+EN＝D′E+EN，
根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN＝D′E+EN最小，
此时，∵∠D′CD＝∠D′NO＝∠NOC＝90°，
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′＝OC＝3，ON＝D′C＝DC．
对于y＝x2﹣x+3，当y＝0时，有x2﹣
x+3＝0，
解得：x1＝2，x2＝3．
∴D（2，0），OD＝2，
∴ON＝DC＝OC﹣OD＝3﹣2＝1，
∴点E的坐标为（2，1），
故答案为（2，1）．
