Question

12、如图，已知⊙O₁与⊙O₂相交于点A、B，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，过点B作两圆的割线分别交⊙O₁、⊙O₂于点D、E，DE与AC相交于点P．
（1）求证：AD∥EC；
（2）若AD是⊙O₂的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长．

Answer 1

分析：（1）连接AB．根据弦切角定理可得∠BAC=∠D，而∠BAC和∠E是同弧所对的圆周角，由此可证得AD、EC所在直线的内错角相等，即可得证；
（2）由于PA是⊙O₁的切线，由切割线定理可求得PB的长．而AD是⊙O₂的切线，同样可根据切割线定理求得AD的长．

解答：解：（1）连接AB．
因为AC是⊙O₁的切线，
所以∠BAC=D．
又因为∠BAC=∠E，
所以∠D=∠E，
所以AD∥CE．

（2）因为PA是⊙O₁的切线，
所以PA²=PB•（PB+BD）．
即6²=PB•（PB+9），
解，得PB=3，PB=-12（舍去）．
又AD是☉O₂的切线，
所以AD²=DB•DE=9×16，
即AD=12．

点评：此题考查的知识点有：弦切角定理、圆周角定理及切割线定理．