题目内容
【题目】如图,抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B,且A点的坐标为(1,0),与y轴交于点C(0,1)
(1)求抛物线的解析式,并求出点B坐标;
(2)过点B作BD∥CA交抛物线于点D,连接BC、CA、AD,求四边形ABCD的周长;(结果保留根号)
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在点P,过点P作PE垂直于x轴,垂足为点E,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似?若存在请求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)y=-x2+1,B(-1,0).(2)5+,4.(3)点P的坐标为(, ).
【解析】试题分析:(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式,点B坐标可由对称性质得到,或令y=0,由解析式得到;
(2)关键是求出点D的坐标,然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度;
(3)本问为存在型问题.可以先假设存在,然后按照题意条件求点P的坐标,如果能求出则点P存在,否则不存在.注意三角形相似有两种情形,需要分类讨论.
试题解析:(1)∵点A(1,0)和点C(0,1)在抛物线y=ax2+b上,
∴,
解得:a=-1,b=1,
∴抛物线的解析式为:y=-x2+1,
抛物线的对称轴为y轴,则点B与点A(1,0)关于y轴对称,
∴B(-1,0).
(2)设过点A(1,0),C(0,1)的直线解析式为y=kx+b,可得:
,
解得k=-1,b=1,∴y=-x+1.
∵BD∥CA,
∴可设直线BD的解析式为y=-x+n,
∵点B(-1,0)在直线BD上,∴0=1+n,得n=-1,
∴直线BD的解析式为:y=-x-1.
将y=-x-1代入抛物线的解析式,得:-x-1=-x2+1,解得:x1=2,x2=-1,
∵B点横坐标为-1,则D点横坐标为2,
D点纵坐标为y=-2-1=-3,
∴D点坐标为(2,-3).
如图①所示,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3,AN=1,BN=3,
在Rt△BDN中,BN=DN=3,由勾股定理得:BD=3;
在Rt△ADN中,DN=3,AN=1,由勾股定理得:AD=;
又OA=OB=OC=1,OC⊥AB,由勾股定理得:AC=BC=;
∴四边形ABCD的周长为:AC+BC+BD+AD=++3+=5+.
∵AB=2,OC=1,DN=3
∴四边形ABCD的面积为:
(3)假设存在这样的点P,则△BPE与△CBD相似有两种情形:(I)若△EPB∽△BDC,如图②所示,
则有,
即,∴PE=3BE.
设OE=m(m>0),则E(-m,0),BE=1-m,PE=3BE=3-3m,
∴点P的坐标为(-m,3-3m).
∵点P在抛物线y=-x2+1上,
∴3-3m=-(-m)2+1,解得m=1或m=2,
当m=1时,点E与点B重合,故舍去;当m=2时,点E在OB左侧,点P在x轴下方,不符合题意,故舍去.
因此,此种情况不存在;
(II)若△EBP∽△BDC,如图③所示,
则有,
即,
∴BE=3PE.
设OE=m(m>0),则E(m,0),BE=1+m,PE=BE=(1+m)=+m,
∴点P的坐标为(m, +m).
∵点P在抛物线y=-x2+1上,
∴+m=-(m)2+1,解得m=-1或m=,
∵m>0,故m=-1舍去,∴m=,
点P的纵坐标为: +m=+×=,
∴点P的坐标为(, ).
综上所述,存在点P,使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似,点P的坐标为(, ).