Question

正方形ABCD的边长为3，E，F 分别是AB，BC边上的点，且∠EDF=45°．将
△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．

（1）求证：EF=FM；
（2）当AE=1时，求EF的长．

Answer 1

（1）见解析  （2）

（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，
∴ F，C，M三点共线，DE=DM，∠EDM=90°，∴∠EDF+∠FDM=90°.
∵ ∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°.
在△DEF和△DMF中，DE=DM，∠EDF=∠MDF，DF=DF，
∴△DEF≌△DMF（SAS），∴ EF="MF."
（2）解：设EF=MF=x，∵AE=CM=1，且BC=3，∴ BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x.
∵EB=AB－AE=3－1=2，在Rt△EBF中，
由勾股定理得EB²+BF²=EF²，即2²+（4－x）²=x²，
解得：x=，即EF=.