题目内容

△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边为a、b、c，若S_△ABC=30，且a、b是关于x的方程x²-（c+4）x+4c+8=0的两根，求tanA+cotA的值．

解：由题意，得
$\text{[math]}$ ，
由①两边平方，得
a²+b²+2ab=c²+8c+16③
由②×2，得
2ab=8c+16④，
由③-④，得
a²+b²=c²．
∴△ABC是直角三角形，且a、b为直角边，
∴ $\text{[math]}$ ab=30，
∴ab=60．
∴4c+8=60，
解得：c=13．
x²-（13+4）x+4×13+8=0，
解得：x₁=5，x₂=12，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴tanA+cotA= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
答：tanA+cotA= $\text{[math]}$ ．
分析：由根与系数的关系可以得出a+b=c+4，ab=4c+8，通过变形就可以得出a2+b2=c2，进而得出三角形ABC是直角三角形，根据面积可以先求出c，然后解一个一元二次方程就可以求出a、b 的值，就可以得出结论．
点评：本题考查了根与系数的关系式的运用，勾股定理的逆定理的运用，一元二次方程的解法的运用，直角三角形的面积公式的运用及三角函数值的运用，解答时运用根与系数的关系求出三角形ABC是直角三角形是解答的关键．