题目内容
设a、b、c均不为0，且a+b+c=1998，| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| 1998 |
分析：要想证明a、b、c中至少有一个等于1998，根据a+b+c=1998，只需证明a+b=0或a+c=0或b+c=0即可，首先将
+
+
=
中的1998用a+b+c表示，即
+
+
=
，去分母、分解因式，转化为（a+b）（b+c）（c+a）=0的形式．
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| 1998 |
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| a+b+c |
解答：证明：
∵a+b+c=1998，
+
+
=
∴
+
+
=
?
=
?（ab+bc+ac）（a+b+c）=abc?（a+b）（ab+bc+ac）+（ab+bc+ac）c=abc?（a+b）（ab+bc+ac）+abc+c（bc+ac）=abc?（a+b）（ab+bc+ac）+c2（a+b）=0?（a+b）（ab+bc+ac+c2）=0?（a+b）[b（a+c）+c（a+c）]=0?（a+b）（a+b）（a+c）=0
∴a+b，b+c，c+a中必有一个为0
∴a、b、c中至少有一个等于1998
∵a+b+c=1998，
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| 1998 |
∴
| 1 |
| a |
| 1 |
| b |
| 1 |
| c |
| 1 |
| a+b+c |
| ab+bc+ac |
| abc |
| 1 |
| a+b+c |
∴a+b，b+c，c+a中必有一个为0
∴a、b、c中至少有一个等于1998
点评：本题考查分式的混合运算．解决本题的关键是将证明a、b、c中至少有一个等于1998，转化为证明a+b=0或a+c=0或b+c=0．
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，求证：a、b、c中至少有一个等于1998．