题目内容

【题目】如图,将矩形ABCD沿对角线AC剪开,再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1 , 连接AD1、BC1 . 若∠ACB=30°,AB=1,CC1=x,△ACD与△A1C1D1重叠部分面积为S,则下列结论:
①△A1AD1≌△CC1B;
②当x=1时,四边形ABC1D1是菱形;
③当x=2时,△BDD1为等边三角形;
④S= (x﹣2)2(0≤x≤2).
其中正确的是(将所有正确答案的序号都填写在横线上)

【答案】①②③
【解析】解:①∵四边形ABCD为矩形,
∴BC=AD,BC∥AD
∴∠DAC=∠ACB
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1
∴∠A1=∠DAC,A1D1=AD,AA1=CC1
在△A1AD1与△CC1B中,

故①正确;
②∵∠ACB=30°,
∴∠CAB=60°,
∵AB=1,
∴AC=2,
∵x=1,
∴AC1=1,
∴△AC1B是等边三角形,
∴AB=D1C1
又AB∥D1C1
∴四边形ABC1D1是菱形,
故②正确;
③如图所示:

则可得BD=DD1=BD1=2,
∴△BDD1为等边三角形,故③正确.
④易得△AC1F∽△ACD,

解得: = (0<x<2);故④错误;
综上可得正确的是①②③.
所以答案是:①②③.
【考点精析】认真审题,首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等),还要掌握平移的性质(①经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行(或在同一直线上)且相等,对应角相等,图形的形状与大小都没有发生变化;②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等)的相关知识才是答题的关键.

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