Question

【题目】已知在平行四边形中，点为边上一点，过点作于点，

（1）如图1，连接，若点为中点，，，，求的长．

（2）如图2，作的平分线交于点，连接，若，为等边三角形，且，，求证：．

Answer 1

【答案】（1）11；（2）见解析

【解析】

（1）解直角三角形求出BF，CF，即可解决问题．
（2）作GT∥CB交AB于T，交EF于K．证明△AGT是等边三角形，得出AT=AG，再证明△AGH≌△TGE（SAS），得出AH=TE，即可得出结论．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=10，BC=AD，

∵点为中点，
∴AE=EB=5，

∵EF⊥BF，tanB=，
设EF=4x，则BF=3x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2=52，
解得：x=1，
∴EF=4，BF=3，
在Rt△ECF中，CF=，
∴BC=BF+CF=11，
∴AD=BC=11；
（2）如图2中，作GT∥CB交AB于T，交EF于K．

则∠FGT=∠GFC，
∵∠EGF=2∠GFC，
∴∠TGE=∠GFC=∠FGT，
∵∠AGH=∠GFC，
∴∠TGE=∠AGH，

∴∠AGT=∠AGE+∠EGT=∠AGE+∠AGH=∠EGH
∵△EGH是等边三角形，
∴GE=GH，∠EGH =60°，

∴∠AGT==60°
∵FG⊥GH，
∴∠FGH=90°，
∴∠EGF=30°，
∵∠EGF=2∠GFC，
∴∠GFC=∠EGT =15°，

∵GT∥BC，EF⊥BC，

∴EF⊥GT，
∴∠GKE=∠EKT=90°，
∴∠GEF=90°-∠EGT=75°，
∵EG平分∠AEF
∴∠AEG=∠GEF=75°，
∴∠BEF=30°，
∴∴∠ATG =90°-30°=60°，
∴△AGT是等边三角形，
∴AT=AG=TG，
在△AGH和△TGE中，

，
∴△AGH≌△TGE（SAS），
∴AH=TE，
∵AE+TE=AT，
∴AE+AH=AG．