题目内容

【题目】如图,直线y=-2x+2与抛物线y=ax2+bx(a<0)相交于点A,B.双曲线y=过A、B两点,已知点B的坐标为(2,-2),点A在第二象限内,且tan∠Aoy=

(1)求双曲线和抛物线的解析式;

(2)计算△AOB的面积;

(3)在抛物线上是否存在点P,使△AOP的面积等于△AOB的面积?若存在,请你写出点P的坐标;若不存在,请你说明理由.

【答案】(1)双曲线解析式为y=-,抛物线解析式为y=x2-3x,(2)3,(3)P(-3,18).

【解析】

试题分析:(1)先用待定系数法求出双曲线解析式,再用待定系数法求出抛物线解析式;

(2)先求出AOB的面积,在求出BOC的面积即可;

(3)先求出直线PB解析式为y=-4x+6,和抛物线解析式为y=x2-3x,联立方程组求解即可.

试题解析:(1)∵双曲线经过点B,

∴k=-4,

∴双曲线解析式为y=-

∵tan∠AOy=

设A(-m,4m),

∵点A 过双曲线,

∴m=1或m=-1(舍),

∴A(-1,4);

∵抛物线过点A,B,

∴抛物线解析式为y=x2-3x,

(2)设直线y=-2x+2交于x轴于C,令y=0,

∴x=1,

∴OC=1,

∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×4+×1×2=3,

(3)存在点P(-3,18),

理由:假设存在点P,使△AOP的面积等于△AOB的面积;

∴点P到直线OA的距离等于点B到直线OA的距离,

∴PB∥AO,

∵直线AO解析式为y=-4x,

∴设直线PB的解析式为y=-4x+f,

∵直线PB过点B,

∴-2=-4×2+f,

∴f=6,

∴直线PB解析式为y=-4x+6,

(舍),

P(-3,18).

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