Question

附加题：（1）如图，在四个正方形拼接成的图形中，以A₁、A₂、A₃、…、A₁₀这十个点中任意三点为顶点，共能组成

 

个等腰直角三角形．

（2）已知y₁=-ax²-ax+1的顶点P的纵坐标为

9

8

，且与抛物线y₂=ax²-ax-1相交于A，B两点．设A，B两点的横坐标分别记为x_A，x_B，若在x轴上有一动点Q（x，0），且x_A≤x≤x_B，过q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？

Answer 1

分析：（1）设四个正方形的边长为1，经过试画探究，可以发现，所求的等腰直角三角形中，按边大小分，有三类：①以直角边长为1的18个；②直角边长为2的有2个；③直角边长为

2

的有10个．
（2）先根据抛物线y₁的顶点纵坐标求出a的值，得a=

1

2

，因此y₁开口向下，y₂开口向上．那么CD的长可用y₁-y₂来表示，以此可得出一个关于CD长和x的函数关系式，根据函数的性质即可得出CD的最大值以及对应的x的值．

解答：解：（1）以A₁为直角顶点的等腰直角三角形有2个，以A₂为直角顶点的等腰直角三角形有1个，
以A₃为直角顶点的等腰直角三角形有4个，以A₄为直角顶点的等腰直角三角形有4个，
以A₅为直角顶点的等腰直角三角形有1个，以A₆为直角顶点的等腰直角三角形有2个，
以A₇为直角顶点的等腰直角三角形有6个，以A₈为直角顶点的等腰直角三角形有3个，
以A₉为直角顶点的等腰直角三角形有3个，以A₁₀为直角顶点的等腰直角三角形有6个，故共有32个．

（2）解：a=

1

2

．
∵a=

1

2

＞0．
∴抛物线y₁开口向下，抛物线y₂开口向上．
根据题意，得CD=y₁-y₂=（-

1

2

x²-

1

2

x+1）-（

1

2

x²-

1

2

x-1）=-x²+2．
∵x_A≤x≤x_B，
∴当x=0时，CD有最大值2．

点评：本题考查了规律性问题以及二次函数的综合应用．