Question

已知二次函数y=x²+bx-3的图象经过点P（-2，5）．
（1）要使y随x的增大而增大，求x的取值范围；
（2）设点P₁（m，y₁），P₂（m+1，y₂），P₃（m+2，y₃），P₄（-2，y₄）在这个二次函数的图象上，
m≥5．
①比较y₁与y₄的大小，说明理由；
②y₁，y₂，y₃能否作为同一个三角形的三边的长？为什么？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把点P（-2，5）代入二次函数解析式，借助方程求得得b=-2．则函数解析式为y=x²-2x-3，易求对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性得到当x≥1时，y随x的增大而增大；
（2）①根据抛物线的对称性易求得P₄（-2，y₄）关于对称轴的对称点为（4，y₄），因为当x≥1时y随x的增大而增大，m≥5＞4，所以由此知y₁＞y₄；
②根据三角形的三边关系进行判断．

解答：解：（1）把点P（-2，5）代入二次函数解析式，得5=（-2）²-2b-3，
解得b=-2．
∴y=x²-2x-3，对称轴为直线x=1，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大；

（2）①P₄（-2，y₄）关于对称轴的对称点为（4，y₄），
因为当x≥1时y随x的增大而增大，m≥5＞4，
∴y₁＞y₄．
②∵1＜5≤m＜m+1＜m+2，
∴y₁＜y₂＜y₃．
y₁=m²-2m-3，y₂=m²-4，y₃=m²+2m-3，y₁+y₂-y₃=m²-2m-3+m²-4-（m²+2m-3）=m²-4m-4
∵m≥5，
∴m²-4m-4＞0，
∴y₁+y₂＞y₃．
∴当m取不小于5的任意实数时，y₁、y₂、y₃一定能作为同一个三角形三边的长．

点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象的性质以及三角形的三边关系．难度较大．