Question

【题目】如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中， ①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1，

∵CE为⊙O的直径，

∴∠CFE=∠CGE=90°．

∵EG⊥EF，

∴∠FEG=90°．

∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．

∴四边形EFCG是矩形．

（2）解：①存在．

连接OD，如图2①，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ADC=90°．

∵点O是CE的中点，

∴OD=OC．

∴点D在⊙O上．

∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°，

∴△CFE∽△DAB．

∴ =（ ）2．

∵AD=4，AB=3，

∴BD=5，

S△CFE=（ ）2S△DAB

= × ×3×4

= ．

∴S矩形EFCG=2S△CFE

= ．

∵四边形EFCG是矩形，

∴FC∥EG．

∴∠FCE=∠CEG．

∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE，

∴∠GDC=∠FDE．

∵∠FDE+∠CDB=90°，

∴∠GDC+∠CDB=90°．

∴∠GDB=90°

Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′）处，如图2①所示．

此时，CF=CB=4．

Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD，

如图2②所示，

此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．

Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，

如图2③所示．

S△BCD= BCCD= BDCF

∴4×3=5×CF

∴CF= ．

∴ ≤CF≤4．

∵S矩形EFCG= ，

∴ ×（ ）2≤S矩形EFCG≤ ×42．

∴ ≤S矩形EFCG≤12．

∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为 ．

②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″，如图2②所示，

∴点G的移动路线是线段DG″．

∵∠G″DC=∠BDA，∠DCG″=∠A=90°，

∴△DCG″∽△DAB．

∴ = ．

∴ = ．

∴DG″= ．

∴点G移动路线的长为 ．

【解析】（1）只要证到三个内角等于90°即可．（2）易证点D在⊙O上，根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE，从而证到△CFE∽△DAB，根据相似三角形的性质可得到S矩形EFCG=2S△CFE= ．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形EFCG的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值，从而得到点G的移动的路线是线段，只需找到点G的起点与终点，求出该线段的长度即可．