Question

已知: 如图， AB是⊙O的直径，⊙Ｏ过AC的中点D， DE切⊙Ｏ于点D， 交BC于点E．
 
（１）求证： DE⊥BC；
（２）如果CD＝4，CE＝3，求⊙Ｏ的半径．

Answer 1

证明：(1)连结OD

∵DE切⊙O于点D
∴DE⊥OD, ∴∠ODE＝90⁰   又∵AD＝DC, AO＝OB
∴OD//BC
∴∠DEC＝∠ODE＝90⁰, ∴DE⊥BC   
(2)连结BD.

∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB＝90⁰        
∴BD⊥AC, ∴∠BDC＝90⁰
又∵DE⊥BC, △RtCDB∽△RtCED          
∴, ∴BC＝ 
又∵OD＝BC
∴OD＝, 即⊙O的半径为

本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．