Question

如图，已知等边三角形ABC,以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点E作EF⊥AB，垂足为点F．

（1）判断EF与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若等边△ABC的边长为8，求FH的长．（结果保留根号）

Answer 1

(1)EF是⊙O的切线 (2) FH=BFsin60°=

试题分析：.
解：(1)EF是⊙O的切线.  
连接OE
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝∠A＝60°，

∵OE＝OC，
∴△OCE是等边三角形，
∴∠EOC＝∠B＝60°，
∴OE∥AB.
∵EF⊥AB，
∴EF⊥OE，
∴EF是⊙O的切线.
(2)∵OE∥AB，
∴OE是中位线.
∵AC＝8，
∴AE＝CE＝4.
∵∠A＝60°，EF⊥AB，
∴∠AEF＝30°，
∴AF＝2.  
∴BF＝6.
∵FH⊥BC，∠B＝60°，∴FH=BFsin60°=
点评：通过切线的判定定理来证明直线与圆相切，是证明此类问题的首选.