题目内容
如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长B
O与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=
，求sin∠E．
O与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E．（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE=
| 1 |
| 2 |
（1）证明：连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵BD为直径，∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴
=
，
由AD∥OC得AD=2OC
∵tan∠ABE=
，
∴
=
设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，
得PC=2BC=4t，OP=5t，
∴
=
=
．
可设EA=2，EP=5，则PA=3，
∵PA=PB∴PB=3，
∴sin∠E=
=
．
∵PA为⊙O的切线，
∴OA⊥PA
∴∠PAO=90°，
∵OA=OB，OP⊥AB于C，
∴BC=CA，PB=PA，
∴△PAO≌△PBO，
∴∠PBO=∠PAO=90°，
∴PB为⊙O的切线；
（2）连接AD，
∵BD为直径，∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°
∴AD∥OP，
∴△ADE∽△POE，
∴
| EA |
| EP |
| AD |
| OP |
由AD∥OC得AD=2OC
∵tan∠ABE=
| 1 |
| 2 |
∴
| OC |
| BC |
| 1 |
| 2 |
设OC=t，则BC=2t，AD=2t，由△PBC∽△BOC，
得PC=2BC=4t，OP=5t，
∴
| EA |
| EP |
| AD |
| OP |
| 2 |
| 5 |
可设EA=2，EP=5，则PA=3，
∵PA=PB∴PB=3，
∴sin∠E=
| PB |
| EP |
| 3 |
| 5 |
练习册系列答案
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C，垂足为点F．