Question

【题目】如图，AB∥CD，点E，F分别在AB，CD上，连接EF，∠AEF、∠CFE的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．

（1）求证：四边形EGFH是矩形
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MN∥EF，分别交AB，CD于点M，N，过H作PQ∥EF，分别交AB，CD于点P，Q，得到四边形MNQP，此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列框中补全他的证明思路．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵FH平分∠DFE，

∴∠EFH=∠DFE，

∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠DFE=180°，

∴∠FEH+∠EFH=（∠BEF+∠DFE）=×180°=90°，

∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°，

∴∠EHF=180°﹣（∠FEH+∠EFH）=180°﹣90°=90°，

同理可得：∠EGF=90°，

∵EG平分∠AEF，

∴∠GEF=∠AEF，

∵EH平分∠BEF，

∴∠FEH=∠BEF，

∵点A、E、B在同一条直线上，

∴∠AEB=180°，

即∠AEF+∠BEF=180°，

∴∠FEG+∠FEH=（∠AEF+∠BEF）=×180°=90°，

即∠GEH=90°，

∴四边形EGFH是矩形

（2）

解：答案不唯一：

由AB∥CD，MN∥EF，PQ∥EF，易证四边形MNQP是平行四边形，

要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，由已知条件：FG平分∠CFE，MN∥EF，

故只要证GM=FQ，即证△MGE≌△QFH，易证 GE=FH、∠GME=∠FQH．

故只要证∠MGE=∠QFH，易证∠MGE=∠GEF，∠QFH=∠EFH，∠GEF=∠EFH，即可得证．

【解析】（1）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH=90°，进而得出∠GEH=90°，进而求出四边形EGFH是矩形；
（2）利用菱形的判定方法首先得出要证MNQP是菱形，只要证MN=NQ，再证∠MGE=∠QFH得出即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解菱形的判定方法的相关知识，掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形，以及对矩形的判定方法的理解，了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．