题目内容

【题目】四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.

(1)如图1,点P是正方形ABCD外一点,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ON与边BC相交,连接AP,BN.

依题意补全图1;

判断APBN的数量关系及位置关系,写出结论并加以证明;

(2)点PAB延长线上,且∠APO=30°,连接OP,以OP为一边,作正方形OPMN,且边ONBC的延长线恰交于点N,连接CM,若AB=2,求CM的长(不必写出计算结果,简述求CM长的过程)

【答案】(1)①图形见解析②AP=BN,AP⊥BN(2)见解析

【解析】分析:(1)、①根据题意作出图形即可;②结论:AP=BN,AP⊥BN,只要证明△APO≌△BNO即可;(2)、RT△CMS中,求出SM,SC即可解决问题.

详解:(1)、解:①补全图形如图1所示,

②结论:AP=BN,AP⊥BN.

理由:延长NB交AP于H,交OP于K. ∵四边形ABCD是正方形, ∴OA=OB,AO⊥BO,

∴∠1+∠2=90°, ∵四边形OPMN是正方形, ∴OP=ON,∠PON=90°, ∴∠2+∠3=90°,

∴∠1=∠3, 在△APO和△BNO中, ∴△APO≌△BNO, ∴AP=BN,∴∠4=∠5,

在△OKN中,∠5+∠6=90°, ∵∠7=∠6, ∴∠4+∠7=90°, ∴∠PHK=90°, ∴AP⊥BN.

(2)、解:解题思路如下:

a.首先证明△APO≌△BNO,AP=BN,∠OPA=ONB.

b.作OT⊥AB于T,MS⊥BC于S,由题意可知AT=TB=1,

c.由∠APO=30°,可得PT= ,BN=AP= +1,可得∠POT=∠MNS=60°.

d.由∠POT=∠MNS=60°,OP=MN,

可证,△OTP≌△NSM, ∴PT=MS= , ∴CN=BN﹣BC= ﹣1,

∴SC=SN﹣CN=2﹣ 在RT△MSC中,CM2=MS2+SC2 , ∴MC的长可求

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