题目内容

【题目】如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,且BD=CD,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AD=2 ,∠DAC=30°,求AC的长.

【答案】
(1)证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,

∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°,

在RT△DEB和RT△DFC中,

∴△DEB≌△DFC,

∴∠B=∠C,

∴AB=AC


(2)∵AB=AC,BD=DC,

∴AD⊥BC,

在RT△ADC中,∵∠ADC=90°,AD=2 ,∠DAC=30°,

∴AC=2CD,设CD=a,则AC=2a,

∵AC2=AD2+CD2

∴4a2=a2+(2 2

∵a>0,

∴a=2,

∴AC=2a=4.


【解析】(1)先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明.(2)先证明AD⊥BC,再在RT△ADC中,利用30°角性质设CD=a,AC=2a,根据勾股定理列出方程即可解决问题.

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