题目内容
【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F． 
（1）求证：AB=AC；
（2）若AD=2 
，∠DAC=30°，求AC的长．
【答案】
（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，
在RT△DEB和RT△DFC中，
，
∴△DEB≌△DFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC
（2）∵AB=AC，BD=DC，
∴AD⊥BC，
在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2 
，∠DAC=30°，
∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，
∵AC2=AD2+CD2，
∴4a2=a2+（2 ）2，
∵a＞0，
∴a=2，
∴AC=2a=4．
【解析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．
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