Question

【题目】如图， 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t，求：

（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？

Answer 1

【答案】
（1）

解：因为AD∥BC，

所以，只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，

此时有，3t=24﹣t，

解得t=6，

所以t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形．

又由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，

过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，

则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，

所以3t﹣（24﹣t）=4，

解得t=7秒所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形

（2）

解：设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，

则PH=AB=8，BH=AP，

可得HQ=26﹣3t﹣t=26﹣4t，

由切线长定理得，AP=PG，QG=BQ，

则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26﹣3t=26﹣2t

由勾股定理得：PQ2=PH2+HQ2，即 （26﹣2t）2=82+（26﹣4t）2

化简整理得 3t2﹣26t+16=0，

解得t1= 或 t2=8，

所以，当t1= 或 t2=8时直线PQ与⊙O相切．

因为t=0秒时，直线PQ与⊙O相交，

当t= 秒时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，

所以可得以下结论：

当t1= 或 t2=8秒时，直线PQ与⊙O相切；

当0≤t＜ 或8＜t≤ （单位秒）时，直线PQ与⊙O相交；

当 ＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离．

【解析】（1）若PQCD为平行四边形，则需QC=PD，即3t=24﹣t，得t=6秒；同理只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，如图，过P、D分别作BC的垂线，交BC于E、F点，则EF=PD，QE=FC=2，即3t﹣（24﹣t）=4，解得t=7秒，问题得解．（2）因为点P、Q分别在线段AD和BC上的运动，可以统一到直线PQ的运动中，要探求时间t对直线PQ与⊙O位置关系的影响，可先求出t为何值时，直线PQ与⊙O相切这一整个运动过程中的一瞬，再结合PQ的初始与终了位置一起加以考虑，设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图因为，AB=8，AP=t，BQ=26﹣3t，所以，PQ=26﹣2t，因而，过p做PH⊥BC，得HQ=26﹣4t，于是由勾股定理，可的关于t的一元二次方程，则t可求．问题得解．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的判定的相关知识，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及对直角梯形的理解，了解一腰垂直于底的梯形是直角梯形．