题目内容
【题目】抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2).
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P从点O出发,乙每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时点E也从点O出发,以每秒1个单位长度的速度向点C运动,设点P的运动时间t秒(0<t<2).
①过点E作x轴的平行线,与BC相交于点D(如图所示),当t为何值时, 的值最小,求出这个最小值并写出此时点E、P的坐标;
②在满足①的条件下,抛物线的对称轴上是否存在点F,使△EFP为直角三角形?若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)
解:∵y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(2,0),B(4,0)两点,与y轴交于点C(0,2).
∴ ,
解得:
∴抛物线的解析式为y= x2﹣
x+2.
(2)
解:①由题意得:OP=2t,OE=t,
∵DE∥OB,
∴△CDE∽△CBO,
∴ ,即
,
∴DE=4﹣2t,
∴ ,
∵0<t<2,1﹣(t﹣1)2始终为正数,且t=1时,1﹣(t﹣1)2有最大值1,
∴t=1时, 有最小值1,即t=1时,
有最小值1,此时OP=2,OE=1,
∴E(0,1),P(2,0);
②存在,
∵抛物线y= x2﹣
x+2的对称轴方程为x=3,
设F(3,m),
∴EP2=5,PF2=(3﹣2)2+m2,EF2=(m﹣1)2+32,
当△EFP为直角三角形时,
(a)当∠EPF=90°时,
EP2+PF2=EF2,
即5+1+m2=(m﹣1)2+32,
解得:m=2,
(b)当∠EFP=90°时,
EF2+FP2=PE2,
即(m﹣1)2+32+(3﹣2)2+m2=5,
此方程无解,不合题意舍去,
∴当∠EFP=90°时,
这种情况不存在,
(c)当∠PEF=90°时,
EF2+PE2=PF2,
即(m﹣1)2+32+5=(3﹣2)2+m2,
解得:m=7,
∴F(3,2),(3,7).
【解析】(1)利用待定系数法求函数解析式即可;(2)①由题意得:OP=2t,OE=t,通过△CDE∽△CBO得到 ,即
,求得
有最小值1,即可求得结果;②存在,求得抛物线y=
x2﹣
x+2的对称方程为x=3,设F(3,m),当△EFP为直角三角形时(a)当∠EPF=90°时,(b)当∠EFP=90°时,(c)当∠PEF=90°时,根据勾股定理列方程即可求得结果.
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质,掌握二次函数图像关键点:1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点;增减性:当a>0时,对称轴左边,y随x增大而减小;对称轴右边,y随x增大而增大;当a<0时,对称轴左边,y随x增大而增大;对称轴右边,y随x增大而减小即可以解答此题.
