Question

【题目】小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD边打台球，该球桌长AB=4m，宽AD=2m，点O、E分别为AB、CD的中点，以AB、OE所在的直线建立平面直角坐标系。

（1）如图1，M为BC上一点；

①小明要将一球从点M击出射向边AB，经反弹落入D袋，请你画出AB上的反弹点F的位置；

②若将一球从点M(2，12)击出射向边AB上点F(0.5，0)，问该球反弹后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?请说明理由

（2）如图2，在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ的端点M在AD中点上且MQ⊥AD，MQ=2m，挡板EH的端点H在边BC上滑动，且挡板EH经过DC的中点E；

①小聪把球从B点击出，后经挡板EH反弹后落入D袋，当H是BC中点时，试证明：DN=BN；

②如图3，小明把球从B点击出，依次经挡板EH和挡板MQ反弹一次后落入D袋，已知∠EHC=75°，请你直接写出球的运动路径BN+NP+PD的长。

Answer 1

【答案】（1）①答案见解析 ②答案见解析 （2）①证明见解析 ②

【解析】

（1）①根据反射的性质画出图形，可确定出点F的位置；②过点H作HG⊥AB于点G，利用点H的坐标，可知HG的长，利用矩形的性质结合已知可求出点B，C的坐标，求出BM，BF的长，再利用锐角三角函数的定义，去证明tan∠MFB=tan∠HFG，即可证得∠MFB=∠HFG，即可作出判断；

（2）①连接BD，过点N作NT⊥EH于点N，交AB于点T，利用三角形中位线定理可证得EH∥BD，再证明MQ∥AB，从而可证得∠DNQ=∠BNQ，∠DQN=∠NQB，利用ASA证明△DNQ≌△BNQ，然后利用全等三角形的性质，可证得结论；②作点B关于EH对称点B＇，过点B＇作B＇G⊥BC交BC的延长线于点G，连接B＇H，B＇N，连接AP，过点B＇作B＇L⊥x轴于点L，利用轴对称的性质，可证得AP=DP，NB＇=NB，∠BHN=∠NHB＇根据反射的性质，易证AP，NQ，NC在一条直线上，从而可证得BN+NP+PD=AB＇，再利用邻补角的定义，可求出∠B＇HG=30°，作EK=KH，利用等腰三角形的性质，及三角形外角的性质，求出∠CKH的度数，利用解直角三角形表示出KH，CK的长，由BC=2，建立关于x的方程，解方程求出x的值，从而可得到CH，B＇H的长，利用解直角三角形求出GH，BH的长，可得到点B＇的坐标，再求出AL，B＇L的长，然后在Rt△AB＇L中，利用勾股定理就可求出AB＇的长.

（1）解： ①如图1，

②答：反弹后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球

理由：如图，设点H（-0.5，0.8），过点H作HG⊥AB于点G，

∴HG=0.8

∵矩形ABCD，点O，E分别为AB，CD的中点，AD=2，AB=4，

∴OB=OA=2，BC=AD=OE=2

∴点B（2，0），点C（2，2）,

∵ 点M(2，1.2)，点F(0.5，0)，

∴BF=2-0.5=1.5，BM=1.2，

FG=0.5-（-0.5）=1

在Rt△BMF中，

tan∠MFB=，

在Rt△FGH中，

tan∠HFG=，

∴∠MFB=∠HFG，

∴反弹后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球 .

（2）解：①连接BD，过点N作NT⊥EH于点N，交AB于点T，

∴∠TNE=∠TNH=90°，

∵小聪把球从B点击出，后经挡板EH反弹后落入D袋，

∴∠BNH=∠DNE，

∴∠DNQ=∠BNQ；

∵点M是AD的中点，MQ⊥EO，

∴MQ∥AB，

∴点Q是BD的中点，

∴NT经过点Q；

∵点E，H分别是DC，BC的中点，

∴EH是△BCD的中位线，

∴EH∥BD

∵NT⊥EH

∴NT⊥BD；

∴∠DQN=∠NQB=90°

在span>△DNQ和△BNQ中，

∴△DNQ≌△BNQ（ASA）

∴DN=BN

②作点B关于EH对称点B＇，过点B＇作B＇G⊥BC交BC的延长线于点G，连接B＇H，B＇N，连接AP，过点B＇作B＇L⊥x轴于点L，

∴AP=DP，NB＇=NB，∠BHN=∠NHB＇

由反射的性质，可知AP，NQ，NC在一条直线上，

∴BN+NP+PD=NB＇+NP+AP=AB＇；

∵∠EHC=75°，∠EHC+∠BHN=180°，

∴∠BHN=180°-75°=105°，

∴∠NHB＇=∠EHC+∠B＇HG=105°

∴∠B＇HG=30°;

如图，作EK=KH，

在Rt△ECH中，∠EHC=75°，

∴∠E=90°-75°=15°，

∴∠E=∠KHE=15°

∴∠CKH=∠E+∠KHE=15°+15°=30°，

∵设CH=x，则KH=2x，CK=

∴

解之：x=，

∴CH=

∴BH=B＇H=BC-CH=2-（）=；

在Rt△B＇GH中，

B＇G=;

GH=B＇Hcos∠B＇HG=（）×；

BG=BH+GH=

∴点B＇的横坐标为：，

∴点B＇；

∴AL=，

B＇L=

在Rt△AB＇L中，

AB＇=

∴ 球的运动路径BN+NP+PD的长为.