题目内容
【题目】先阅读下列材料，再解答下列问题：
题：分解因式：
解：将“
”看成整体，设
，则原式＝
再将“
”还原，得原式＝
.
上述解题用到的是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，请你仿照上面的方法解答下列问题：
(1)因式分解：
；
.
(2)因式分解：
；
.
(3)求证：若
为正整数，则式子
的值一定是某一个正整数的平方．
【答案】(1)
；
.(2)
；
；（3）证明见解析.
【解析】
（1）把（2a+b），（3a+2b），(2a+3b)分别看作一个整体，直接利用平方差公式因式分解即可；
（2）把（x-y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；把(a+b) 看作一个整体，代入后利用完全平方公式因式分解即可；
（3）将原式转化为（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1，进一步整理为（n2+3n+1）2，根据n为正整数得到n2+3n+1也为正整数，从而说明原式是整数的平方．
(1)因式分解：
=；
=
=.
(2)因式分解：
(x-y+1)2；
令A=a+b，则原式变为A（A-4）+4=A2-4A+4=（A-2）2，
故（a+b）（a+b-4）+4=（a+b-2）2.
(3) （n+1）（n+2）（n2+3n）+1
=（n2+3n）[（n+1）（n+2）]+1
=（n2+3n）（n2+3n+2）+1
=（n2+3n）2+2（n2+3n）+1
=（n2+3n+1）2，
∵n为正整数，
∴n2+3n+1也为正整数，
∴代数式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某一个整数的平方．
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