Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（6，0），（6，8）、动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动、其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动、过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP、已知动点运动了t秒、

（1）P点的坐标为（ ， ）（用含t的代数式表示）;
（2）试求 △MPA面积的最大值，并求此时t的值;
（3）请你探索：当t为何值时，△MPA是一个等腰三角形？

Answer 1

【答案】
（1）解：6－t, t
（2）解：延长NP交x轴于Q，则有PQ⊥QA．设△MPA的面积为S，

S＝ MA·PQ＝ （6—t） t＝— t2＋4t （0≤t≤6）

∴当t ＝3时，S的最大值为6

（3）解：① 若MP＝PA ∵PQ⊥MA ∴ MQ＝QA＝t ∴3t＝6 即t＝2

② 若MP＝MA 则 MQ＝6—2t PQ＝ t PM＝MA＝6—t

在Rt△PMQ 中 ∵PM2＝MQ2＋PQ2 ∴（6—t）2＝（6—2t）2＋（ t）2 ∴t ＝

③ 若PA＝AM ∵PA＝ t AM＝6—t ∴ t＝6—t ∴t＝

综上所述， t＝2或t＝ 或t＝

【解析】解：（1）由题意可知C（0,8），又A（6,0）,

所以直线AC解析式为：y=- t+8,

因为P点的横坐标与N点的横坐标相同为6-x，代入直线AC中得y= t，

所以P点坐标为（6-t, t）

【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和二次函数的最值，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a即可以解答此题．