题目内容
【题目】如图所示,正比例函数y= x的图象与反比例函数y= (k≠0)在第一象限的图象交于点 ,过点A作X轴的垂线,垂足为M,已知△AOM的面积为1.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)如果点 为反比例函数在第一象限图象上的点(点 与点 不重合),且点 的横坐标为1,在 轴上求一点 ,使 最小.
【答案】
(1)解:根据题意可设A点的坐标为(a,b),则b= .∴ab=k .
∵△AOM的面积为1.
∴ ab=1 ,
∴ k=1 .
∴ k=2.
∴ 反比例函数的解析式为y=
(2)解:由 得 或 ,
∵A在第一象限,
∴ A为(2,1),设A点关于x轴的对称点为C,
则C点的坐标为(2,-1)如要在x轴上求一点P,使PA+PB最小.
则P点应为BC和x轴的交点,
如图所示.设直线BC的解析式为y=mx+n.
∵ B为(1,2),
∴ ,解得: ,
∴ BC的解析式为y=-3x+5.
当y=0时,-3x+5=0,x=-,
∴ P点坐标为( -,0)
【解析】(1)根据题意可设A点的坐标为(a,b),△AOM的面积为1,由反比例函数的k的几何意义,可得出ab=2,即|k|=2,k>0,即可求出反比例函数的解析式。
(2)要在x轴上求作一点P,而A、B两点的x轴的同一侧,作点A关于x轴的对称点C,连接BC交x轴于点P,先求出点C和点B的坐标,再求出直线BC的函数解析式,然后求出当y=0时,x的值,即可求出点P饿坐标。
【考点精析】解答此题的关键在于理解确定一次函数的表达式的相关知识,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法,以及对轴对称-最短路线问题的理解,了解已知起点结点,求最短路径;与确定起点相反,已知终点结点,求最短路径;已知起点和终点,求两结点之间的最短路径;求图中所有最短路径.