题目内容
【题目】已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，线段AB的两个端点A（0，2），B（1，0）分别在y轴和x轴的正半轴上，点C为线段AB的中点，现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点D．
（1）如图1，若该抛物线经过原点O，且a=﹣ 
．
①求点D的坐标及该抛物线的解析式；
②连结CD，问：在抛物线上是否存在点P，使得∠POB与∠BCD互余？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）如图2，若该抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点E（1，1），点Q在抛物线上，且满足∠QOB与∠BCD互余．若符合条件的Q点的个数是4个，请直接写出a的取值范围．
【答案】
（1）
解：①过点D作DF⊥x轴于点F，如图1，
∵∠DBF+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠DBF=∠BAO，
又∵∠AOB=∠BFD=90°，AB=BD，
在△AOB和△BFD中，
，
∴△AOB≌△BFD（AAS）
∴DF=BO=1，BF=AO=2，
∴D的坐标是（3，1），
根据题意，得a=﹣ 
，c=0，且a×32+b×3+c=1，
∴b= 
，
∴该抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x；
②∵点A（0，2），B（1，0），点C为线段AB的中点，
∴C（ 
，1），
∵C、D两点的纵坐标都为1，
∴CD∥x轴，
∴∠BCD=∠ABO，
∴∠BAO与∠BCD互余，
要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，
设P的坐标为（x，﹣ x2+ x），
（i）当P在x轴的上方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图2，
则tan∠POB=tan∠BAO，即 
，
∴ 
= ，解得x1=0（舍去），x2= 
，
∴﹣ x2+ x= 
，
∴P点的坐标为（ ， ）
（ii）当P在x轴的下方时，过P作PG⊥x轴于点G，如图3
则tan∠POB=tan∠BAO，即 ，
∴ = ，解得x1=0（舍去），x2= 
，
∴﹣ x2+ x=﹣ 
，
∴P点的坐标为（ ，﹣ ）；
综上，在抛物线上是否存在点P（ ， ）或（ ，﹣ ），使得∠POB与∠BCD互余
（2）
解：如图3，
∵D（3，1），E（1，1），
抛物线y=ax2+bx+c过点E、D，代入可得 
，解得 
，所以y=ax2﹣4ax+3a+1．
分两种情况：
①当抛物线y=ax2+bx+c开口向下时，若满足∠QOB与∠BCD互余且符合条件的Q点的个数是4个，则点Q在x轴的上、下方各有两个．
（i）当点Q在x轴的下方时，直线OQ与抛物线有两个交点，满足条件的Q有2个；
（ii）当点Q在x轴的上方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点必须在x轴的正半轴上，与y轴的交点在y轴的负半轴，所以3a+1＜0，解得a＜﹣ ；
②当抛物线y=ax2+bx+c开口向上时，点Q在x轴的上、下方各有两个，
（i）当点Q在x轴的上方时，直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q有两个；
（ii）当点Q在x轴的下方时，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，符合条件的点Q才两个．
根据（2）可知，要使得∠QOB与∠BCD互余，则必须∠QOB=∠BAO，
∴tan∠QOB=tan∠BAO= 
= ，此时直线OQ的斜率为﹣ ，则直线OQ的解析式为y=﹣ x，要使直线OQ与抛物线y=ax2+bx+c有两个交点，所以方程ax2﹣4ax+3a+1=﹣ x有两个不相等的实数根，所以△=（﹣4a+ ）2﹣4a（3a+1）＞0，即4a2﹣8a+ 
＞0，解得a＞ 
（a＜ 
舍去）
综上所示，a的取值范围为a＜﹣ 或a＞ 
．
【解析】（1）①过点D作DF⊥x轴于点F，先通过三角形全等求得D的坐标，把D的坐标和a=﹣ ，c=0代入y=ax2+bx+c即可求得抛物线的解析式；②先证得CD∥x轴，进而求得要使得∠POB与∠BCD互余，则必须∠POB=∠BAO，设P的坐标为（x，﹣ x2+ x），分两种情况讨论即可求得；（2）若符合条件的Q点的个数是4个，则当a＜0时，抛物线交于y轴的负半轴，当a＞0时，最小值得＜﹣1，解不等式即可求得．
