Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AD=8，E是边AB上一点，且AE= AB．⊙O经过点E，与边CD所在直线相切于点G（∠GEB为锐角），与边AB所在直线交于另一点F，且EG：EF= ：2．当边AD或BC所在的直线与⊙O相切时，AB的长是 ．

Answer 1

【答案】12或4
【解析】解：边AB所在的直线不会与⊙O相切；边BC所在的直线与⊙O相切时， 如图，过点G作GN⊥AB，垂足为N，

∴EN=NF，
又∵EG：EF= ：2，
∴EG：EN= ：1，
又∵GN=AD=8，
∴设EN=x，则 ，根据勾股定理得：
，解得：x=4，GE=4 ，
设⊙O的半径为r，由OE2=EN2+ON2
得：r2=16+（8﹣r）2 ，
∴r=5．∴OK=NB=5，
∴EB=9，
又AE= AB，
∴AB=12．
同理，当边AD所在的直线与⊙O相切时，连接OH，

∴OH=AN=5，
∴AE=1．
又AE= AB，
∴AB=4．
所以答案是：12或4．
【考点精析】掌握矩形的性质和切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．