题目内容
【题目】对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C,给出如下定义:若⊙C上存在两个点A、B,使得点P在射线BC上,且∠APB∠ACB(0°<∠ACB<180°),则称P为⊙C的依附点.
(1)当⊙O的半径为1时,
①已知点D(﹣1,0),E(0,﹣2),F(2.5,0),在点D、E、F中,⊙O的依附点是 ;
②点T在直线y=﹣x上,若T为⊙O的依附点,求点T的横坐标t的取值范围;
(2)⊙C的圆心在x轴上,半径为2,直线y=﹣x+2与x轴、y轴分别交于点M、N,若线段MN上的所有点都是⊙C的依附点,直接写出圆心C的横坐标m的取值范围.
【答案】(1)①E、F;②t
或
t
.(2)4<m<4
或﹣4<m<2﹣2
.
【解析】
(1)①如图1中,根据P为⊙C的依附点,可知:当r<OP≤3r(r为⊙C的半径)时,点P为⊙C的依附点,由此即可判断.
②分两种情形:点T在第二象限或点T在第四象限分别求解即可.
(2)分两种情形:点C在点M的右侧,点C在点M的左侧分别求解即可解决问题.
解:(1)①如图1中,根据P为⊙C的依附点,可知:当r<OP<3r(r为⊙C的半径)时,点P为⊙C的依附点.
∵D(﹣1,0),E(0,﹣2),F(2.5,0),
∴OD=1,OE=2,OF=2.5,
∴1<OE<3,1<OF<3,
∴点E,F是⊙C的依附点,
故答案为:E、F;
②如图2中,
当点T在第四象限,OT′=1时,作T′N⊥x轴于N,易知N(,0),OT=3时,作TM⊥x轴于M,易知M(
,0),
∴满足条件的点T的横坐标t的取值范围:t
.
当点T在第二象限时,同法可得满足条件的t的取值范围为t
,
综上所述,满足条件的t的值的范围为:t
或
t
.
(2)如图3﹣1中,当点C在点M的右侧时,
由题意M(2,0),N(0,2)
当CN=6时,OC4
,此时C(4
,0),
当CM=2时,此时C(4,0),
∴满足条件的m的值的范围为4<m<4.
如图3﹣2中,当点C在点M的右侧时,
当⊙C与直线MN相切时,易知C′(2﹣2,0),
当CM=6时,C(﹣4,0),
∴满足条件的m的值的范围为﹣4<m<2﹣2,
综上所述,满足条件的m的值的范围为:4<m<4或﹣4<m<2﹣2
.
