Question

如图⊙P的圆心P在⊙O上，⊙O的弦AB所在的直线与⊙P切于C，若⊙P的半径为r，⊙O的半径为R.⊙O和⊙P的面积比为9∶4，且PA=10，PB=4.8，DE=5，C、P、D三点共线

（1）求证：；
（2），求AE的长；
（3）连结PD，求sin∠PDA的值.

Answer 1

（1）见解析（2）7（3）

（1）证明：连结CP，作⊙O的直径AF，连结PF，则∠APF＝90°
∵AC切于⊙O于C
∴∠ACP=90°=∠APF
又∵∠PBC=∠BAP+∠BPA  （1分）
连结FB，则∠AFB=∠BPA，∠BFP=∠BAP
∴∠PBC=∠BAP+∠BPA=∠AFB+∠BFP=∠AFP   （2分）
（此处也可用圆内接四边形的定理求出）    
∴△APF∽△PCB
∴，∵AF=2R，PC=r, ∴,
∴   (4分)
（2）解：∵⊙O和⊙P的面积比为9：4
∴ R : r="3" : 2     （5分）
∴
∴，即PC=4   （6分）
在Rt△APC 中   （7分）
连结CE，∵∠CAD=∠EAC，∠ACD=∠AEC
∴△AEC∽△ACD
∴，   （8分）
∴
∴          （9分）
∴或
∵线段长不为负数，∴      （10分）
（3）解：sin∠PDA=sin∠PFA=  （12分）
∵，R=
∴AF=12
∴sin∠PDA=           （14分）
本题综合考查了相似三角形是判定与性质、圆内接四边形的性质及切线的性质．
解第（1）、（2）问的解决运用了以下知识：切线的性质，圆周角定理的推论，圆的内接四
边形的性质．由此可以看出在两圆的位置关系问题中，综合知识的运用是至关重要的；第
（3）利用三角函数求解