Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．

（1）求证：△BOQ≌△EOP；

（2）求证：四边形BPEQ是菱形；

（3）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）PQ＝．

【解析】

（1）先根据线段垂直平分线的性质证明PB=PE，由ASA证明△BOQ≌△EOP；
（2）由（1）得出PE=QB，证出四边形ABGE是平行四边形，再根据菱形的判定即可得出结论；
（3）根据三角形中位线的性质可得AE+BE=2OF+2OB=18，设AE=x，则BE=18-x，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得62+x2=（18-x）2，BE=10，得到OB=BE=5，设PE=y，则AP=8-y，BP=PE=y，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得62+（8-y）2=y2，解得y=，在Rt△BOP中，根据勾股定理可得PO=，由PQ=2PO即可求解．

（1）证明：∵PQ垂直平分BE，

∴PB＝PE，OB＝OE，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PEO＝∠QBO，

在△BOQ与△EOP中，

，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

（2）∵△BOQ≌△EOP

∴PE＝QB，

又∵AD∥BC，

∴四边形BPEQ是平行四边形，

又∵QB＝QE，

∴四边形BPEQ是菱形；

（3）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，

∴AE+BE＝2OF+2OB＝18，

设AE＝x，则BE＝18﹣x，

在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，

解得x＝8，

BE＝18﹣x＝10，

∴OB＝BE＝5，

设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，

在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝，

在Rt△BOP中，PO＝，

∴PQ＝2PO＝．