Question

（10分）已知关于x的方程X²+2KX+K²+2K-2=0．
（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；
（2）若以方程X²+2KX+K²+2K-2=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的
图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer 1

K≤1   m=-3

分析：
（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
（2）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值。
解答：
（1）由题意得△=（2k）2-4×（k2+2k-2）≥0
化简得-4k+8≥0，解得k≤1。
（2）设方程X²+2KX+K²+2K-2=0的两个根为x₁，x₂，
根据题意得m=x₁?x₂，
又由一元二次方程根与系数的关系得x₁x₂=k²+2k-2，
那么m=k²+2k-2=（k+1）²-3，
所以，当k=-1时，m取得最小值-3。
点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根。