Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与直线y=x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．
①当PE=2ED时，求P点坐标；
②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点B（4，m）在直线y=x+1上，

∴m=4+1=5，

∴B（4，5），

把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得 ，解得 ，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+4x+5

（2）

解：①设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），D（x，0），

则PE=|﹣x2+4x+5﹣（x+1）|=|﹣x2+3x+4|，DE=|x+1|，

∵PE=2ED，

∴|﹣x2+3x+4|=2|x+1|，

当﹣x2+3x+4=2（x+1）时，解得x=﹣1或x=2，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（2，9）；

当﹣x2+3x+4=﹣2（x+1）时，解得x=﹣1或x=6，但当x=﹣1时，P与A重合不合题意，舍去，

∴P（6，﹣7）；

综上可知P点坐标为（2，9）或（6，﹣7）；

②设P（x，﹣x2+4x+5），则E（x，x+1），且B（4，5），C（5，0），

∴BE= = |x﹣4|，CE= = ，BC= = ，

当△BEC为等腰三角形时，则有BE=CE、BE=BC或CE=BC三种情况，

当BE=CE时，则 |x﹣4|= ，解得x= ，此时P点坐标为（ ， ）；

当BE=BC时，则 |x﹣4|= ，解得x=4+ 或x=4﹣ ，此时P点坐标为（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）；

当CE=BC时，则 = ，解得x=0或x=4，当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时P点坐标为（0，5）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（ ， ）或（4+ ，﹣4 ﹣8）或（4﹣ ，4 ﹣8）或（0，5）

【解析】（1）由直线解析式可求得B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）①可设出P点坐标，则可表示出E、D的坐标，从而可表示出PE和ED的长，由条件可知到关于P点坐标的方程，则可求得P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，则可求得P点坐标．