题目内容
【题目】如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，点P从点B出发，沿对角线BD向点D匀速运动，速度为4cm/s，过点P作PQ⊥BD交BC于点Q，以PQ为一边作正方形PQMN，使得点N落在射线PD上，点O从点D出发，沿DC向点C匀速运动，速度为3m/s，以O为圆心，0.8cm为半径作⊙O，点P与点O同时出发，设它们的运动时间为t（单位：s）（0＜t＜
）．
（1）如图1，连接DQ平分∠BDC时，t的值为 ；
（2）如图2，连接CM，若△CMQ是以CQ为底的等腰三角形，求t的值；
（3）请你继续进行探究，并解答下列问题：
①证明：在运动过程中，点O始终在QM所在直线的左侧；
②如图3，在运动过程中，当QM与⊙O相切时，求t的值；并判断此时PM与⊙O是否也相切？说明理由．
【答案】见解析
【解析】试题分析：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、切线的判定和性质、勾股定理、角平分线的性质等知识，利用相似三角形的性质构建方程，最后一个问题利用反证法证明解题．
（1）先利用△PBQ∽△CBD求出PQ、BQ，再根据角平分线性质，列出方程解决问题．
（2）由△QTM∽△BCD，得
列出方程即可解决．
（3）①如图2中，由此QM交CD于E，求出DE、DO利用差值比较即可解决问题．
②如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．由△OHE∽△BCD，得
，列出方程即可解决问题．利用反证法证明直线PM不可能由⊙O相切．
（1）解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°，AB=CD=6．AD=BC=8，
∴
，
∵PQ⊥BD，
∴∠BPQ=90°=∠C，
∵∠PBQ=∠DBC，
∴△PBQ∽△CBD，
∴
，
∴
，
∴PQ=3t，BQ=5t，
∵DQ平分∠BDC，QP⊥DB，QC⊥DC，
∴QP=QC，
∴3t=8-5t，
∴t=1，
故答案为：1．
（2）解：如图2中，作MT⊥BC于T．
∵MC=MQ，MT⊥CQ，
∴TC=TQ，
由（1）可知TQ=
（8-5t），QM=3t，
∵MQ∥BD，
∴∠MQT=∠DBC，
∵∠MTQ=∠BCD=90°，
∴△QTM∽△BCD，
∴，
∴
，
∴t=
（s），
∴t=s时，△CMQ是以CQ为底的等腰三角形．
（3）①证明：如图2中，由此QM交CD于E，
∵EQ∥BD，
∴
，
∴EC=
（8-5t），ED=DC-EC=6-（8-5t）=
t，
∵DO=3t，
∴DE-DO=t-3t=t＞0，
∴点O在直线QM左侧．
②解：如图3中，由①可知⊙O只有在左侧与直线QM相切于点H，QM与CD交于点E．
∵EC=（8-5t），DO=3t，
∴OE=6-3t-（8-5t）=t，
∵OH⊥MQ，
∴∠OHE=90°，
∵∠HEO=∠CEQ，
∴∠HOE=∠CQE=∠CBD，
∵∠OHE=∠C=90°，
∴△OHE∽△BCD，
∴，
∴
，
∴t=
．
∴t=s时，⊙O与直线QM相切．
连接PM，假设PM与⊙O相切，则∠OMH=PMQ=22.5°，
在MH上取一点F，使得MF=FO，则∠FMO=∠FOM=22.5°，
∴∠OFH=∠FOH=45°，
∴OH=FH=
，FO=FM=
，
∴MH=（
+1），
由
得到HE=
，
由
得到EQ=
，
∴MH=MQ-HE-EQ=4--=
，
∴（+1）≠，矛盾，
∴假设不成立．
∴直线PM与⊙O不相切．
