题目内容

【题目】如图(1),已知抛物线x轴交于AB两点,与y轴负方向交于C点,且

1)试求出抛物线的解析式;

2E为直线上.动点,F为抛物线对称轴上一点,当F点在对称轴上何处时,四边形ACFE的周长最短,并求出此时四边形的周长;

3)如图(2),x轴上一点,抛物线上x轴的上方是否存在点P,使得线段AP与直线CD相交且它们的夹角为45°,若存在这样的P点,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1);(2)四边形ACFE的最短周长;(3)存在这样的P点,且

【解析】

1)令y=0,可求得A(-1.0),B(3,0),根据条件求出点C的坐标,把点C的坐标代入抛物线的解析式求出a即可;

2)设点A关于直线y=1的对称点,C关于抛物线对称轴的对称点,连接与直线y=1交于点E,与对称轴交于点F,此时四边形ACEF的周长最短,求出直线与对称轴的交点即可;

3)设APCDM,连BC.可证,得出,过M轴于E,则可证,得到,得到AM的解析式,联立方程组即可求解.

解:(1

.∴,∴

2)设A关于的对称点为,则,设C关于抛物线对称轴的对称点为

设直线的解析式为

则有,解得

,当时,,∴

四边形ACFE的最短周长

∴四边形ACFE的最短周长,此时

3)设APCDM,连BC

可证:

,即

M轴于E,则可证

,即

AM的解析式为:

解得舍去

∴存在这样的P点,且

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