题目内容
【题目】如图(1),已知抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴负方向交于C点,且.
(1)试求出抛物线的解析式;
(2)E为直线上.动点,F为抛物线对称轴上一点,当F点在对称轴上何处时,四边形ACFE的周长最短,并求出此时四边形的周长;
(3)如图(2),为x轴上一点,抛物线上x轴的上方是否存在点P,使得线段AP与直线CD相交且它们的夹角为45°,若存在这样的P点,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)四边形ACFE的最短周长,;(3)存在这样的P点,且
【解析】
(1)令y=0,可求得A(-1.0),B(3,0),根据条件求出点C的坐标,把点C的坐标代入抛物线的解析式求出a即可;
(2)设点A关于直线y=1的对称点,点C关于抛物线对称轴的对称点,连接与直线y=1交于点E,与对称轴交于点F,此时四边形ACEF的周长最短,求出直线与对称轴的交点即可;
(3)设AP交CD于M,连BC.可证,得出,过M作轴于E,则可证,得到,,得到AM的解析式,联立方程组即可求解.
解:(1),
∴,.
∵,,
∴.∴,∴
(2)设A关于的对称点为,则,设C关于抛物线对称轴的对称点为则.
设直线的解析式为,
则有,解得
∴,当时,,∴.
四边形ACFE的最短周长,
,.
∴四边形ACFE的最短周长,此时.
(3)设AP交CD于M,连BC.
可证:,
∴,即.
∴.
过M作轴于E,则可证,
∴,即.
∴,,
∴AM的解析式为:.
由解得舍去
∴存在这样的P点,且
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