题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y=kx+b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC．
（1）求出点A的坐标和点D的横坐标；
（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为
，求a的值；
（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由．
【答案】（1）A（﹣1，0），点D的横坐标为4；（2）a=﹣
；（3）点P（1，﹣
）或（1，﹣4）．
【解析】
（1）解方程即可得到结论；根据直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），得到直线l：y=kx+k，
解方程得到点D的横坐标为4，求得k=a，得到直线l的函数表达式为y=ax+a；
（2）过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），得到F（x，ax+a），求出
EF=ax2﹣3ax﹣4a，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论；
（3）令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，得到D（4，5a），设P（1，m），①若AD
是矩形ADPQ的一条边，②若AD是矩形APDQ的对角线，列方程即可得到结论．
解：（1）当y=0时，ax2﹣2ax﹣3a=0，
解得：x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∵直线l：y=kx+b过A（﹣1，0），
∴0=﹣k+b，
即k=b，
∴直线l：y=kx+k，
∵抛物线与直线l交于点A，D，
∴ax2﹣2ax﹣3a=kx+k，
即ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k=0，
∵CD=4AC，
∴点D的横坐标为4；
（2）由（1）知，点D的横坐标为4，
∴k=a，
∴直线l的函数表达式为y=ax+a；
过E作EF∥y轴交直线l于F，设E（x，ax2﹣2ax﹣3a），
则F（x，ax+a），EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a，
∴S△ACE=S△AFE﹣S△CEF
，
∴△ACE的面积的最大值=
，
∵△ACE的面积的最大值为
，
∴
解得
（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，
令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a，即ax2﹣3ax﹣4a=0，
解得：x1=﹣1，x2=4，
∴D（4，5a），
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
设P（1，m），
①若AD是矩形ADPQ的一条边，
则易得Q（﹣4，21a），
m=21a+5a=26a，则P（1，26a），
∵四边形ADPQ是矩形，
∴∠ADP=90°，
∴AD2+PD2=AP2，
∴52+（5a）2+32+（26a﹣5a）2=22+（26a）2，
即
∵a＜0，
∴
∴
②若AD是矩形APDQ的对角线，
则易得Q（2，﹣3a），
m=5a﹣（﹣3a）=8a，则P（1，8a），
∵四边形APDQ是矩形，
∴∠APD=90°，
∴AP2+PD2=AD2，
∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2=52+（5a）2，
即
∵a＜0，
∴
∴P（1，﹣4），
综上所述，点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点
或（1，﹣4）．
