Question

【题目】如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P、Q同时从点C出发，以1cm/s的速度分别沿CA、CB匀速运动．当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．过点P作AC的垂线l交AB于点R，连接PQ、RQ，并作△PQR关于直线l对称的图形，得到△PQ′R．设点Q的运动时间为t（s），△PQ′R与△PAR重叠部分的面积为S（cm2）．

（1）t为何值时，点Q′恰好落在AB上？
（2）求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）S能否为 cm2？若能，求出此时的t值；若不能，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：连接QQ′，

∵PC=QC，∠C=90°，

∴∠CPQ=45°，又l⊥AC，

∴∠RPQ=∠RPC﹣∠CPQ=90°﹣45°=45°，

由对称可得PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，

∴∠BQQ′=∠BCA，又∠B=∠B，

∴△BQQ′∽△BCA，

∴ = ，即 = ，

解得：t=2.4；

（2）

解：当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，

又∵RP∥BC，

∴△RPA∽△BCA，

∴ ，即 = ，

∴RP=（8﹣t） = ，

∴S= RPQ′D= t=﹣ t2+3t；

当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，

由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，

又∵∠PDE=90°，

∴△DEP为等腰直角三角形，

∴DP=DE，

∵△RDE∽△BCA，

∴ = = ，即DR= DE，

∵△RPA∽△BCA，

∴ ，即 = ，

∴RP= ，

∴RP=RD+DP=DR+DE=DE+ DE= ，即 DE= ，

∴DE= ，

∴S= RPDE= = t2﹣ t+ ；

（3）

解：S能为 cm2，理由为：

若 t2﹣ t+ = （2.4＜t≤6），

整理得：t2﹣16t+57=0，

解得：t= =8± ，

∴t1=8+ （舍去），t2=8﹣ ；

若﹣ t2+3t= （0＜t≤2.4），

整理得：t2﹣8t+3=0，

解得：t= =4± ，

∴t1=4+ （舍去），t2=4﹣ ，

综上，当S为 cm2时，t的值为（8﹣ ）或（4﹣ ）秒

【解析】（1）如图所示，连接QQ′，由题意得到三角形PQC为等腰直角三角形，可得出∠CPQ=45°，再由l与AC垂直，得到∠RPQ也为45°，进而由对称性得出PQ′=PQ，∠QPQ′=90°，QQ′=2t，且QQ′∥CA，由平行得到一对同位角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△BQQ′∽△BCA，由相似得比例，将各自的值代入列出关于t的方程，求出方程的解即可得到此时t的值；（2）由（1）求出t的值，分两种情况考虑：当0＜t≤2.4时，过Q′作Q′D⊥l于D点，则Q′D=t，由RP与BC平行，利用两直线平行得到两对同位角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到△RPA∽△BCA，由相似得比例表示出RP，利用三角形的面积公式表示出S关于t的关系式即可；当2.4＜t≤6时，记PQ′与AB的交点为E，过E作ED⊥l于D，由对称性得到由对称可得：∠DPE=∠DEP=45°，可得出三角形DEP为等腰直角三角形，得到DE=DP，由△RDE∽△BCA，利用相似得比例，表示出DR，再由△RPA∽△BCA，由相似得比例，表示出RP，由RP=RD+DP=RD+DE，将表示出的DR及RP代入，表示出DE，利用三角形的面积公式即可表示出S与t的关系式；（3）S能为 cm2 ， 具体求法为：当0＜t≤2.4时，令S= ，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值；当2.4＜t≤6时，令S= ，得出关于t的一元二次方程，求出方程的解得到t的值，经检验得到满足题意t的值．
【考点精析】掌握求根公式和勾股定理的概念是解答本题的根本，需要知道根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．