题目内容
在正方形ABCD中:
(1)已知:如图①,点E、F分别在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足为M,求证:AE=BF.
(2)如图②,如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上,且GE⊥BF,垂足M,那么GE、BF相等吗?证明你的结论.
(3)如图③,如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上,且GE⊥HF,垂足M,那么GE、HF相等吗?证明你的结论.
(1)已知:如图①,点E、F分别在BC、CD上,且AE⊥BF,垂足为M,求证:AE=BF.
(2)如图②,如果点E、F、G分别在BC、CD、DA上,且GE⊥BF,垂足M,那么GE、BF相等吗?证明你的结论.
(3)如图③,如果点E、F、G、H分别在BC、CD、DA、AB上,且GE⊥HF,垂足M,那么GE、HF相等吗?证明你的结论.
分析:(1)根据正方形的性质,得到∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,进而得到∠BAE=∠CBF,则△ABE≌△BCF,进一步根据全等三角形的性质进行证明;
(2)过点A作AN∥GE,可证四边形ANEG是平行四边形,根据平行四边形的对边相等可得AN=GE,由(1)的结论可知AN=BF,所以GE=BF;
(3)分别过点A、B作AP∥GE,BQ∥HF,可证四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形,根据平行四边形的对边相等可得AP=GE,BQ=HF,由(1)的结论可知AP=BQ,所以GE=HF.
(2)过点A作AN∥GE,可证四边形ANEG是平行四边形,根据平行四边形的对边相等可得AN=GE,由(1)的结论可知AN=BF,所以GE=BF;
(3)分别过点A、B作AP∥GE,BQ∥HF,可证四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形,根据平行四边形的对边相等可得AP=GE,BQ=HF,由(1)的结论可知AP=BQ,所以GE=HF.
解答:(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,AE⊥BF,
∴∠BAE+∠ABM=90°,∠CBF+∠ABM=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∵在△ABE和△BCF中,
,
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF;
(2)GE=BF.
证明:如图②,过点A作AN∥GE,
∵AD∥BC,
∴四边形ANEG是平行四边形,
∴AN=GE,
∵GE⊥BF,
∴AN⊥BF,
由(1)可得△ABN≌△BCF,
∴AN=BF,
∴GE=BF;
(3)GE=HF.
证明:如图③,分别过点A、B作AP∥GE,BQ∥HF,
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形,
∴AP=GE,BQ=HF,
∵GE⊥HF,
∴AP⊥BQ,
由(1)可得△ABP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∴GE=HF.
∴∠BAE+∠ABM=90°,∠CBF+∠ABM=90°,
∴∠BAE=∠CBF,
∵在△ABE和△BCF中,
|
∴△ABE≌△BCF(AAS),
∴AE=BF;
(2)GE=BF.
证明:如图②,过点A作AN∥GE,
∵AD∥BC,
∴四边形ANEG是平行四边形,
∴AN=GE,
∵GE⊥BF,
∴AN⊥BF,
由(1)可得△ABN≌△BCF,
∴AN=BF,
∴GE=BF;
(3)GE=HF.
证明:如图③,分别过点A、B作AP∥GE,BQ∥HF,
∵AD∥BC,AB∥DC,
∴四边形APEG、四边形BQFH为平行四边形,
∴AP=GE,BQ=HF,
∵GE⊥HF,
∴AP⊥BQ,
由(1)可得△ABP≌△BCQ,
∴AP=BQ,
∴GE=HF.
点评:本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定,熟练掌握正方形性质确定三角形全等的条件是解题的关键,(2)(3)两题通过作辅助线构造成(1)的形式是得解的关键.
练习册系列答案
相关题目