Question

观察下列等式：1-

1

2

=1×

1

2

，2-

2

3

=2×

2

3

，3-

3

4

=3×

3

4

，…
（1）猜想并写出第n个等式为：

n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；（n为正整数）
（2）证明你写出的等式的正确性；
（3）补全第2012个等式：2012-

2012

2013

=

2012×

2012

2013

．

Answer 1

分析：（1）根据上述一系列等式得到第n个等式为n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；
（2）左边两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，右边利用乘法法则计算，得到结果相等，可得出等式成立；
（3）令n=2012代入（1）得到的规律中，即可得到所填空的结果．

解答：解：（1）根据上述一系列等式得到第n个等式为n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；
（2）证明：∵左边=n-

n

n+1

=

n(n+1)

n+1

-

n

n+1

=

n2

n+1

，
右边=n•

n

n+1

=

n2

n+1

，
∴左边=右边，即等式成立；
（3）2012-

2012

2013

=2012×

2012

2013

．
故答案为：（1）n-

n

n+1

=n•

n

n+1

；（3）2012×

2012

2013

点评：此题考查了分式的混合运算，属于规律型题，弄清题中的规律是解本题的关键．