题目内容

【题目】数学活动课上,励志学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).

(1)初步尝试

如图1,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;

(2)类比发现

如图2,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;

在证明这道题时,励志学习小组成员小同学进行如下书写,请你将此证明过程补充完整

证明:DH=x,由由题意,CD=2xCH=x

∴AD=2AB=4x,

∴AH=AD﹣DH=3x,

∵CH⊥AD,

AC==2x

(3)深入探究

在(2)的条件下,励志学习小组成员小漫同学探究发现,试判断小漫同学的结论是否正确,并说明理由

【答案】1见解析,见解析;(2)见解析;(3)正确

【解析】1先证ABCACD都是等边三角形再证BCEACF全等即可;

2先证ACE∽△HCF再利用相似三角形的性质即可得出答案;

3利用(2)中证得的结论利用等量代换即可得出答案.

解:(1①∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=120°

∴∠D=B=60°

AD=AB

∴△ABCACD都是等边三角形,

∴∠B=CAD=60°ACB=60°BC=AC

∵∠ECF=60°

∴∠BCE+ACE=ACF+ACE=60°

∴∠BCE=ACF

BCEACF中,

∴△BCE≌△ACF

②∵△BCE≌△ACF

BE=AF

AE+AF=AE+BE=AB=AC

2AC2+CD2=AD2

∴∠ACD=90°

∴∠BAC=ACD=90°

∴∠CAD=30°

∴∠ACH=60°

∵∠ECF=60°

∴∠HCF=ACE

∴△ACE∽△HCF

=2

AE=2FH

(3)结论正确

如图2中,由(2)可知,设,则,设,则,易知.

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