Question

【题目】如图，矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，连接BP、CP，过点B作射线交线段CP的延长线于点E，交AD边于点M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y.

（1）说明△ABM∽△APB；并求出y关于x的函数关系式，写出自变量x的取值范围；

（2）当AP=4时，求sin∠EBP的值；

（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；y=x﹣；2＜x≤5；（2）；（3）4或．

【解析】

（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该函数的自变量取值范围；

（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP=x=4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正弦值；

（3）可分EB=EC和CB=CE两种情况讨论：①当EB=EC时，可证到△AMB≌△DPC，则有AM=DP，从而有x-y=5-x，即y=2x-5，代入（1）中函数解析式就可求出x的值；②当CB=CE时，可得到PC=EC-EP=BC-MP=5-y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于x的函数解析式，就可求出x的值．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC

∴∠CBP=∠BPA

∵∠ABE=∠CBP，

又∠A=∠A，

∴△ABM∽△APB

由△ABM∽△APB，得，

∴，

∴y=x﹣．

∵P是边AD上的一动点，

∴0≤x≤5．

∵y＞0，

∴x﹣＞0，

∴x＞2，

∴x的取值范围为2＜x≤5；

（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．

∵AP=x=4，∴y=x﹣=3，

∴MP=3，AM=1，

∴BM=，BP=．

∵S△BMP=MPAB=BPMH，

∴MH=，

∴sin∠EBP=；

（3）①若EB=EC，则有∠EBC=∠ECB．

可证△AMB≌△DPC，

∴AM=DP，

∴x﹣y=5﹣x，

∴y=2x﹣5，

∴x﹣=2x﹣5，

解得：x1=1，x2=4．

∵2＜x≤5，

∴AP=x=4；

②若CE=CB，则∠EBC=∠E．

∵AD∥BC，

∴∠EMP=∠EBC=∠E，

∴PE=PM=y，

∴PC=EC﹣EP=5﹣y，

∴在Rt△DPC中，（5﹣y）2﹣（5﹣x）2=22，

∴3x2﹣10x﹣4=0，

解得：x1=，x2=（舍去）．

∴AP=x=．

终上所述：AP的值为4或．