题目内容
(1)如图,已知点C在线段AB上,且AC=6cm,BC=4cm,点M、N分别是AC、BC的中点,求线段MN的长度;(2)若点C是线段AB上任意一点,且AC=a,BC=b,点M、N分别是AC、BC的中点,请直接写出线段MN的长度;(用a、b的代数式表示)
(3)在(2)中,把点C是线段AB上任意一点改为:点C是直线AB上任意一点,其他条件不变,则线段MN的长度会变化吗?若有变化,求出结果.
分析:(1)根据点M、N分别是AC、BC的中点,先求出CM、CN的长度,则MN=CM+CN;
(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点,CM=
AC,CN=
BC,所以MN=
(AC+BC)=
;
(3)长度会发生变化,分点C在线段AB上、点B在A、C之间和点A在B、C之间三种情况讨论.
(2)根据点M、N分别是AC、BC的中点,CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
a+b |
2 |
(3)长度会发生变化,分点C在线段AB上、点B在A、C之间和点A在B、C之间三种情况讨论.
解答:解:(1)∵AC=6cm,点M是AC的中点
∴CM=
AC=3cm
∵BC=4cm,点N是BC的中点
∴CN=
BC=2cm
∴MN=CM+CN=5cm
∴线段MN的长度为5cm.(4分)
(2)MN=
.(6分)
(3)线段MN的长度会变化.(7分)
当点C在线段AB上时,由(2)知MN=
(8分)
当点C在线段AB的延长线时,如图:
则AC=a>BC=b
∵AC=a点M是AC的中点
∴CM=
AC=
a
∵BC=b点N是BC的中点
∴CN=
BC=
b
∴MN=CM-CN=
(9分)
当点C在线段BA的延长线时,如图:
则AC=a<BC=b
同理可求:CM=
AC=
a
CN=
BC=
b
∴MN=CN-CM=
(10分)
∴综上所述,线段MN的长度会变化,MN=
,
,
.
∴CM=
1 |
2 |
∵BC=4cm,点N是BC的中点
∴CN=
1 |
2 |
∴MN=CM+CN=5cm
∴线段MN的长度为5cm.(4分)
(2)MN=
a+b |
2 |
(3)线段MN的长度会变化.(7分)
当点C在线段AB上时,由(2)知MN=
a+b |
2 |
当点C在线段AB的延长线时,如图:
则AC=a>BC=b
∵AC=a点M是AC的中点
∴CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∵BC=b点N是BC的中点
∴CN=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴MN=CM-CN=
a-b |
2 |
当点C在线段BA的延长线时,如图:
则AC=a<BC=b
同理可求:CM=
1 |
2 |
1 |
2 |
CN=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴MN=CN-CM=
b-a |
2 |
∴综上所述,线段MN的长度会变化,MN=
a+b |
2 |
a-b |
2 |
b-a |
2 |
点评:本题主要是线段中点的运用,分情况讨论是解题的难点,难度较大.
练习册系列答案
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如图,已知点A、B、C、D均在已知圆上,AD∥BC,AC平分∠BCD,∠ADC=120°,四边形ABCD的周长为10cm.图中阴影部分的面积为( )
A、
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B、
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C、2
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D、4
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