题目内容
学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=
=
．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为（ ）A．
B．1 C．
D．2
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是______．
（3）已知sinα=
，其中α为锐角，试求sadα的值．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）．如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sad A=
| 底边 |
| 腰 |
| BC |
| AB |
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）sad60°的值为（ ）A．
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是______．
（3）已知sinα=
| 3 |
| 5 |
（1）根据正对定义，
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°=
=1．
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=
．
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，
则AD=AC=
=4k，
又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=
．
∴DH=ADsin∠A=
k，AH=
=
k．
则在△CDH中，CH=AC-AH=
k，CD=
=
k．
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=
k．
由正对的定义可得：sadA=
=
，即sadα=
．
当顶角为60°时，等腰三角形底角为60°，
则三角形为等边三角形，
则sad60°=
| 1 |
| 1 |
故选B．
（2）当∠A接近0°时，sadα接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadα接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为0＜sadA＜2．
（3）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，sin∠A=
| 3 |
| 5 |
在AB上取点D，使AD=AC，
作DH⊥AC，H为垂足，令BC=3k，AB=5k，
则AD=AC=
| (5k)2-(3k)2 |
又∵在△ADH中，∠AHD=90°，sin∠A=
| 3 |
| 5 |
∴DH=ADsin∠A=
| 12 |
| 5 |
| AD2-DH2 |
| 16 |
| 5 |
则在△CDH中，CH=AC-AH=
| 4 |
| 5 |
| DH2+CH2 |
4
| ||
| 5 |
于是在△ACD中，AD=AC=4k，CD=
4
| ||
| 5 |
由正对的定义可得：sadA=
| CD |
| AD |
| ||
| 5 |
| ||
| 5 |
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