题目内容
如图，以⊙O上一点O1为圆心作圆和⊙O相交于A，B两点，过A作直线CD交⊙O于C，交⊙O1于D．CB交⊙O1于E，AB与CO交于F．
求证：（1）AC•BC=CF2+AF•BF；
（2）∠CDB=∠CBD．
求证：（1）AC•BC=CF2+AF•BF；
（2）∠CDB=∠CBD．
证明：（1）连接O1A，O1B，则O1A=O1B，
∴
=
，
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠CAB=∠CO1B，
∴△AFC∽△O1BC，
∴
=
，
∴AC•BC=O1C•CF=（O1F+CF）•CF=CF2+O1F•CF，
∵AF•BF=O1F•CF，
∴AC•BC=CF2+AF•BF；
（2）连接O1D，则O1D=O1B=O1A，
∴∠O1DB=∠O1BD，∠O1DA=∠O1AD，
∵∠O1AD=∠CBO1，
∴∠O1DA=∠CBO1，
∴∠O1DA+∠O1DB=∠O1BD+∠CBO1，即∠CDB=∠CBD．
∴
 |
| O1A |
|
| O1B |
∴∠ACF=∠BCF，
∵∠CAB=∠CO1B，
∴△AFC∽△O1BC，
∴
| AC |
| O1C |
| CF |
| BC |
∴AC•BC=O1C•CF=（O1F+CF）•CF=CF2+O1F•CF，
∵AF•BF=O1F•CF，
∴AC•BC=CF2+AF•BF；
（2）连接O1D，则O1D=O1B=O1A，
∴∠O1DB=∠O1BD，∠O1DA=∠O1AD，
∵∠O1AD=∠CBO1，
∴∠O1DA=∠CBO1，
∴∠O1DA+∠O1DB=∠O1BD+∠CBO1，即∠CDB=∠CBD．
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