题目内容
【题目】如图所示，已知抛物线
的图像经过点A(1,0),B(0,5),
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为C,求出点C的坐标；并确定在抛物线上是否存在一点E,使△BCE是以BC为斜边的直角三角形？若存在，在图中做出所有的点E（不写画法，保留作图痕迹）；若不存在，说明理由；
（3）点P是直线BC上的一个动点（P点不与B点和C点重合），过点P做x轴的垂线，交抛物线于点M,点Q在直线BC上，距离点P为
个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式。
【答案】（1）
；（2）点C的坐标是（－5，0），存在，图形详见解析；（3）
．
【解析】
（1）将点A、点B的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式；
（2）根据抛物线解析式求出点C的坐标，以BC的中点D为圆心，以
BC为半径画圆，与抛物线有两个交点E和E′；
（3）由点B的坐标为（0，5），点C的坐标为（-5，0），可得直线BC的解析式为y=x+5．
设P的坐标为（t，t+5），则点M的坐标（t，
）．过点Q作QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形，得到QF=1.然后分两种情况讨论：①当点P在点M下方时，即-5﹤t﹤0时，②当点P在点M上方时，t﹤-5或t＞0时，分别表示出PM，然后求出△PMQ的面积即可．
（1）将点A（1，0）、点B（0，5）代入抛物线y=﹣x2+bx+c可得：
，解得：
，故抛物线解析式为：y=﹣x2﹣4x+5．
（2）由y=﹣x2﹣4x+5，令y=0，得：﹣x2﹣4x+5=0，解得：x1=﹣5，x2=1，则点C的坐标为（﹣5，0），若在抛物线上存在点E，使△BCE是以BC为斜边的直角三角形，则∠BEC=90°，即点E是以BC为直径的圆与抛物线的交点．如图：
（3）由点B的坐标为（0，5），点C的坐标为（-5，0），∴可得直线BC的解析式为y=x+5．
∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t．
又点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴所以点P的坐标为（t，t+5），点M的坐标（t，）．
过点Q作QF⊥PM于点F，则△PQF为等腰直角三角形．
∵
∴QF=1．
当点P在点M下方时，即-5﹤t﹤0时，如图1，
，∴
；
当点P在点M上方时，t﹤-5或t＞0时，如图2，图3，
，∴
．
综上所述：．
