Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，将Rt△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到Rt△A₁B₁C．
（1）如图1，若连接AA₁，BB₁，则

BB1

AA1

的值为______；
（2）如图2，连接AB₁、BA₁，判断S_△ACB1与S△A1CB的大小关系，并说明你的理由；
（3）如图3，设AB的中点为O，A₁B₁的中点为P，当θ=______时，OP⊥A₁C．

Answer 1

（1）根据旋转的定义，旋转角∠ACA₁=∠BCB₁，
∵Rt△A₁B₁C是Rt△ABC绕顶点C旋转得到，
∴AC=A₁C，BC=B₁C，
∴△ACA₁∽△BCB₁，
∴

BB1

AA1

=

BC

AC

，
∵cot30°=

BC

AC

=

3

，
∴

BB1

AA1

=

3

；

（2）S_△ACB1=S_△A1CB．
理由如下：如图2，作AM⊥B₁C于点M，作A₁N⊥CB于N，
则∠ACA₁+∠A₁CB=90°，
∠ACA₁+∠ACM=90°，
∴∠A₁CB=∠ACM，
在△ACM和△A₁CN中，

∠A1CB=∠ACM ∠AMC=∠A1NC=90° AC=A1C

，
∴△ACM≌△A₁CN（AAS），
∴AM=A₁N，
又∵CB₁=CB，
∴S_△ACB1=S_△A1CB；

（3）如图3，连接CO、PO，
∵AB的中点为O，A₁B₁的中点为P，
∴CO=PO=AO，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠A=90°-30°=60°，
∴△ACO是等边三角形，
∴∠ACO=60°，
∵OP⊥A₁C，
∴∠A₁CP=∠A₁CO=∠A=60°（等腰三角形三线合一），
∴∠ACA₁=∠ACO+∠A₁CO=60°+60°=120°，
即当θ=120°时，OP⊥A₁C．
故答案为：（1）

3

；（3）120°．