Question

如图，抛物线交轴于两点（的左侧），交轴于点，顶点为。

（1）求点的坐标；
（2）求四边形的面积；
（3）抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

(1) A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）；(2)9；(3)存在这样的点P，P点的坐标为（，）或（，）.

试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令x=0可以求出点C的坐标，令x=0可以求出A、B点的坐标．
（2）过D作DE⊥AB，垂足为E，则四边形ABDC的面积就是：
（3）根据条件判定△BCD是直角三角形，再依据求出.设P点坐标为（m，-m²+2m+3），分两种情况讨论：（1）当P点在x 轴上方时，（2）当P点在x轴下方时，解直角三角形即可求出m的值，从而确定点P的坐标.
试题解析：（1）当x=0时，y=-x²+2x+3=3；
当y=0时，0=-x²
解得：x₁=-1、x₂=3；
故A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）．
（2）
∴D点坐标为（1，4）
过点D作DE⊥x轴于E

∴OE=1，DE=4
∴BE=OB-OE=2
∵,，
∴
(3)假设存在这样的点P
过点C作CF⊥DE于F

∴CF=1，DF=1
∴∠DCF=45°,CD=
∵OC=3=OB,
∴∠CBO=45°,BC=
∵CF∥x轴
∴∠FCB=∠CBO=45°，
∴∠DCB=90°
在Rt△BCD中，
∴
设P点坐标为（m，-m²+2m+3），
过点P作PM⊥AB于M
当P点在x轴上方时，PM=-m²+2m+3，BM=3-m
在Rt△PBM中，,即
∴或（舍去）
∴P点坐标为（，）
当P点在x轴下方时，PM=-m²-2m-3，BM=3-m
在Rt△PBM中，,即
∴或（舍去）
∴P点坐标为（，）
综上，存在这样的点P，P点的坐标为（，）或（，）
考点: 二次函数综合题.