题目内容

【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.

1)求证:PC⊙O的切线;

2)点M是弧AB的中点,CMAB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.

【答案】(1)证明见解析;(2)8.

【解析】试题分析:1)已知C在圆上,故只需证明OCPC垂直即可;根据圆周角定理,易得∠PCB+OCB=90°,即OCCP;故PC O的切线;(2)连接MAMB,由圆周角定理可得∠ACM=BCM,进而可得MBN∽△MCB,故BM2=MNMC;代入数据可得MNMC=BM2=8

试题解析:(1)证明:∵OA=OC

∴∠A=ACO.

又∵∠COB=2ACOB=2PCB

∴∠A=ACO=PCB.

又∵ABO的直径,

∴∠ACO+OCB=90°.

∴∠PCB+OCB=90°OCCP.

OCO的半径,

PCO的切线。

(2)连接MAMB

∵点M的中点,

=.

∴∠ACM=BCM.

∵∠ACM=ABM

∴∠BCM=ABM.

∵∠BMN=BMC

MBNMCB.

.

BM2=MNMC.

又∵ABO的直径,AM=BM

∴∠AMB=90°AM=BM.

AB=4

BM=.

MNMC=BM2=8.

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