题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,过点C的直线与AB的延长线交于点P,AC=PC,∠COB=2∠PCB.
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)点M是弧AB的中点,CM交AB于点N,若AB=4,求MN·MC的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)8.
【解析】试题分析:(1)已知C在圆上,故只需证明OC与PC垂直即可;根据圆周角定理,易得∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP;故PC是 O的切线;(2)连接MA,MB,由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM,进而可得△MBN∽△MCB,故BM2=MNMC;代入数据可得MNMC=BM2=8.
试题解析:(1)证明:∵OA=OC,
∴∠A=∠ACO.
又∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB,
∴∠A=∠ACO=∠PCB.
又∵AB是O的直径,
∴∠ACO+∠OCB=90°.
∴∠PCB+∠OCB=90°,OC⊥CP.
∵OC是O的半径,
∴PC是O的切线。
(2)连接MA,MB,
∵点M是的中点,
∴ =.
∴∠ACM=∠BCM.
∵∠ACM=∠ABM,
∴∠BCM=∠ABM.
∵∠BMN=∠BMC,
∴△MBN∽△MCB.
∴.
∴BM2=MNMC.
又∵AB是O的直径,AM=BM,
∴∠AMB=90°,AM=BM.
∵AB=4,
∴BM=.
∴MNMC=BM2=8.
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