Question

已知：如图,△ABC中,点D、E分别为BC、AC边中点,连接AD,连接DE,过A点作AF∥BC,交DE的延长线于F.连接CF,

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）对添加一个条件              ,使得四边形ADCF是矩形,并进行证明；
（3）在（2）的基础上对再添加一个条件             ,使得四边形ADCF是正方形,不必证明.

Answer 1

证明见解析．

试题分析：（1）∵AD∥BC,∴∠DAE=∠FCE．∠ADE=∠EFC,∵E为AC的中点,∴AE=CE．利用AAS证得△DEA≌△FEC．∴AE=CE,∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）若四边形AFCD成为矩形,由于四边形AFCD是平行四边形,因而加对角线相等即可,即：DF=AC;
（3）添加AD=CD．由于四边形AFCD为矩形．加上AD=CD,即可得到：四边形AFCD为正方形.
试题解析：（1）在△DEA和△FEC中,
∵AD∥BC,
∴∠DAE=∠FCE,∠ADE=∠EFC．
又∵E为AC的中点,
∴AE=CE．
∴△DEA≌△FEC．
∴AE=CE,
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）添加DF=AC．
∵四边形AFCD为平行四边形．
又∵DF=AC,
∴四边形AFCD为矩形;
(3) 添加AD=CD．
∵四边形AFCD为矩形．
又∵AD=CD,
∴四边形AFCD为正方形.